دانلود بررسی آزمون انتگرال

معرفی

آزمون انتگرال از جمله آزمونهای همگرایی سری ها است که برای سریهایی با جملات نامنفی کاربرد دارد. این آزمون برای اولین بار در قرن چهاردهم توسط مدهاوا(Madhava) ریاضیدان هندی مطرح شد و بعدها توسط ریاضیدانان اروپایی چون کوشی و مک لورن گسترش پیدا کرد و به همین دلیل گاهی به عنوان آزمون کوشی-مک لورن یا آزمون انتگرال کوشی یا آزمون انتگرال مک لورن، نیز نامیده می شود.

آزمون انتگرال

اگر یک سری نا متناهی باشد و تابع تابعی نزولی و پیوسته در بازه به گونه ای باشد که و آنگاه سری و انتگرال غیر عادی , هر دو از نظر همگرایی مانند همدیگر هستند.
همچنین بیانی ساده تر از این آزمون نیز به این صورت موجود است به این ترتیب که سری نامتناهی با جملات نا منفی همگرا است اگر و تنها اگر حاصل انتگرال غیر عادی متناهی باشد. که در آن f تابعی نزولی تعریف شده در بازه است که . حال اگر انتگرال واگرا باشد انگاه سری نیز واگرا است.

با ارائه چند مثال روش استفاده از این آزمون را بررسی می کنیم:

می خواهیم همگرایی سری هارمونیک را با آزمون انتگرال بررسی کنیم. تابع نزولی و پیوسته در بازه است و داریم: همچنین این تابع تابعی است که برای هر n جملات سری هارمونیک را تولید می کند. پس می توان برطبق آزمون انتگرال سری هارمونیک و انتگرال غیر عادیاز نظر همگرایی مانند همدیگر هستند که در آن .

حال داریم:

 پس انتگرال غیر عادی فوق واگرا است لذا بر طبق آزمون انتگرال سری هارمونیک واگرا است. 

حال می خواهیم همگرایی سری بررسی کنیم. تابع را در نظر بگیرید. این تابع تابعی نزولی و پیوسته در بازه است. همچنین برای هر n طبیعی داریم: پس این تابع برای مقادیر طبیعی جملات سری را تولید می کند و داریم:
پس با بررسی شرایط آزمون انتگرال می توان گفت سری از نظر همگرایی با انتگرال غیر عادی وضعیت یکسانی دارند. که در آن t عددی در بازه است.
حال داریم:

 پس انتگرال غیر عادی برابر یک مقدار عددی متناهی است و همگرا است لذا سری مورد نظر هم همانند این انتگرال همگرا است. 

البته لازم به توضیح است که سری یک p-سری است که در آن p=2 است پس بدون انجام آزمون می توان گفت این سری همگرا است.

فایل ورد 26 ص