مقاله ارائه یک روش موثر برای حل دستگاه معادلات خطی منفرد

فرمت فایل : word (قابل ویرایش) تعداد صفحات : 21 صفحه

چکیده   

 در این مقاله، حل دستگاه معادلات خطی منفرد  مورد بررسی قرار گرفته است. ما نشان داده‏ایم هر دستگاه معادلات خطی منفرد با یک دستگاه معادلات خطی فرومعین هم ارز است. با ارایه مثال های عددی، نیز نشان داده شده است که جواب مینیمال به دست آمده برای دستگاه معادلات خطی فرومعین در دستگاه معادلات خطی منفرد هم ارز با آن نیز صدق می‏کند.  

1  مقدمه

دستگاه معادلات خطی در علوم مختلف مهندسی و اجتماعی کاربردهای فراوانی دارد. حل عددی بیشتر مسایل محاسباتی در علوم ومهندسی منجر به حل دستگاه معادلات خطی منفرد می‏شود که از آن جمله می‏توان به معادله Navier-Stokes در مهندسی سیالات و Markov chain modelling در متغیرهای تصادفی اشاره کرد[4,6].

 جالب است بدانید، برای هر ماتریس، حتی ماتریس های منفرد، معکوس منحصر بفردی به نام معکوس درازین وجود دارد. در سال های اخیر، جواب دستگاه معادلات خطی منفرد را با معکوس درازین به دست می‏آورند. در [6] یک الگوریتم دو مرحله‏ای برای به دست آوردن معکوس درازین در حل دستگاه معادلات خطی منفرد با شاخص یک ارایه شده است. همچنین روش کرامر برای یافتن معکوس درازین را در [5] ببینید. در این مقاله، ما برای به دست آوردن معکوس درازین از قضیه‏ای که مربوط به موجود و منحصر بفرد بودن آن برای هر ماتریس دلخواه است استفاده می‏کنیم. 

یک دستگاه معادلات خطی منفرد سازگار دارای بی شمار جواب است. تاکنون روش های متعددی برای حل دستگاه معادلات خطی منفرد ارایه شده است[2,4,6]. مجموعه جواب ها یک دستگاه معادلات خطی فرومعین نیز نامتناهی است.  با این حال یک دستگاه معادلات خطی فرومعین دارای یک جواب منحصر بفرد بنام جواب مینیمال است. در صورتی که یک دستگاه فرومعین دارای رتبه کامل سطری باشد، جواب مینیمال آن را با شبه‏معکوس به دست می‏آورند. این جواب دارای کمترین نرم اقلیدسی است[2].

هدف ما از نگارش این مقاله، معرفی معکوس درازین،‌ اشاره به تفاوت آن با شبه‏معکوس و بیان کاربرد آن ها در حل دستگاه معادلات خطی است. همچنین جواب به دست آمده برای دستگاه معادلات خطی منفرد با معکوس درازین را با جواب به دست آمده با شبه‏معکوس برای دستگاه معادلات خطی فرومعین هم ارز با آن،‌ مقایسه نموده‏ایم.

بخش بعدی این مقاله شامل تعاریف و قضایای مقدماتی درباره دستگاه معادلات خطی است. چند تعریف و قضیه درباره دستگاه معادلات خطی فرومعین و دستگاه های معادلات خطی هم ارز نیز ارایه شده است. مهمترین آن ها قضیه‏ای درباره دستگاه معادلات خطی منفرد ناسازگار است. در سومین بخش به نقش معکوس درازین و شبه معکوس در حل دستگاه معادلات خطی اشاره شده و یک روش برای به دست آوردن جواب مینیمال در دستگاه معادلات خطی منفرد ارایه شده‏است. همچنین در این بخش با طرح چند سوال و پاسخگویی به آن ها به شرح روش جدید پرداخته‏ایم. سه مثال عددی برای بررسی درستی مباحث ارایه شده در بخش‏های قبلی در بخش 4 ارایه شده ‏است.

2 تعاریف اولیه و قضایای مقدماتی

تعریف1 ماتریس را در نظر بگیرید. گوییم عدد صحیح نامنفی شاخص ماتریس است و با نمایش می‏دهیم، اگر کوچکترین عدد صحیح نامنفی باشد به طوریکه

(1)                                                                                                                      

که معادل با اینکه شاخص ماتریس اندازه بزرگترین بلوک ژوردان متناظر با مقدار وی‍ژه صفر ماتریس است[7].

   برای هر ماتریس  شاخص ماتریس موجود و منحصر بفرد است[8]. برای آشنایی بیشتر با شاخص ماتریس و نحوه‏ی به دست آوردن شاخص هر ماتریس دلخواه به [8] مراجعه نمائید. در بخش چهارم،‌ نحوه‏ی به دست آوردن شاخص ماتریس شرح داده‏ شده‏است.

قضیه 1 [8] ماتریس  را در نظر بگیرید. داریم .

تعریف2 [7]  ماتریس  را بطوریکه در نظر بگیرید. ماتریس معکوس درازین ماتریس با نمایش داده می‏شود، هرگاه در روابط زیر صدق می‏کند

(2)                                                                                          

اگر باشد، معکوس گروه ماتریس نامیده می‏شود و با نمایش داده می‏شود. اگر باشد  یک ماتریس نامنفرد است و  معکوس ماتریس  نامیده می‏شود و با نمایش داده می‏شود[8]. با توجه به قضیه‏ی زیر برای هر ماتریس دلخواه معکوس درازین موجود و منحصر بفرد است.