دانلود تحقیق مطالعات طرح هادی روستایی

دانلود تحقیق مطالعات طرح هادی روستایی

فرمت فایل (word)

تعداد صفحات : ( 14)

ایهن چنین طرحهای در کشور ما از سال 1362 و تحت عنوان ،روان بخشی روستاها ، در یکی از نقاط روستایی شهرستان شهرکرد و توسط وزیر مسکن و شهرسازی وقت به مورد اجرا گذاشته شد ، و در سالهای بعد به خصوص از سال 1366 توسط بنیاد مسکن انقلاب اسلامی با جدیت تمام پی گیری شد .

براساس این گزارش تجدید حیات و هدایت روستاها از ابعاد کالبدی ، اقتصادی ، اجتماعی و فرهنگی از جمله ، اهداف مورد نظر در طرحهای مذکور است.

بر اساس آئین نامه نحوه بررسی و تصویب طرحهای توسعه عمران محلی ، ناحیه ای ، منطقه ایی ، و ملی و مقررات شهرسازی و معماری کشور مصوب مورخه 12/10/78 هیأت دولت، طرح هادی روستایی عبارت از :

طرح هادی روستایی طرحی است که ضمن ساماندهی و اصلاح بافت موجود ، میزان و مکان گسترش آتی و نحوه استفاده از زمین برای عملکرد های مختلف از قبیل مسکونی ، تولیدی ، تجاری و کشاورزی ، و تأسیسات و تجهیزات و نیازمندیهای عمومی روستایی را بر حسب مورد در قالب مصوبات طرحهای ساماندهی فضا و سکونتگاههای روستایی یا طرحهای جامع ناحیه ای تعیین می نماید.

مراحل تهیه طرح هادی

مرحله اول: تهیه نقشه پایه و وضع موجود روستا

مرحله دوم : مطالعات پایه و تشخیص وضعیت

مرحله سوم : تحلیل و استنتاج از بررسیها و تدوین چشم اندازها

مرحله چهارم: تعیین پروژه های پیشنهادی و تهیه طرح هادی

هزینه یابی بر مبنای فعالیت

 هزینه یابی بر مبنای فعالیت  تحقیق آماده هزینه یابی بر مبنای فعالیت مرروی اجمالی بر تاریخچه ABC فرایند محاسبه بهای تمام شده توسط سیستم های سنتی و ایرادات وارد بر آن:چه شرکت هایی بهتر است از سیستم ABC استفاده کنند؟طبقه بندی هزینه ها در روش ABC اجرای سیستم هزینه یابی بر مبنای فعالیتبرخی از مباحث کلیدی ABC  نتیجه گیری

هزینه یابی بر مبنای فعالیت

روش محاسبه صحیح بهای تمام شدهوقوع رویدادهایی نظیر توسعه رقابت جهانی، پیشرفت فن آوری اطلاعات و ارتباطات و دسترسی به سیستم های اطلاعاتی ارزان طی دو دهه گذشته و تلاش واحدهای اقتصادی جهت احراز رتبه جهانی و ورود به بازارهای بین المللی، لزوم داشتن نگرشهایی همچون رضایت مشتریان و مدیریت بر مبنای فعالیت را اجتناب ناپذیر کرده است.همچنین با افزایش سهم فن آوری و سایر اجزای هزینه های سربار در تولید کالاها و خدمات ، روشهای هزینه یابی سنتی، اطلاعات صحیح در مورد هزینه سر بار و تسهیم آن فراهم نمی آورد در حالیکه اطلاعات بهای تمام شده محصولات، خدمات و مشتریان از مهمترین اطلاعات مالی است که برای تصمیمات مدیریت مورد نیاز است. برآورده نشدن اطلاعات مورد نیاز مدیریت توسط سیستم های هزینه یابی سنتی، واحدهای اقتصادی را به سمت استفاده از سیستم هزینه یابی بر مبنای فعالیت (ABC) متمایل کرده است.سیستم هزینه یابی بر مبنای فعالیت یکی از سیستم های نوین هزینه یابی محصولات و خدمات است که نیازهایی از قبیل محاسبه صحیح بهای تمام شده محصول، بهبود فرایند تولید، حذف فعالیت های زائد، شناخت محرک های هزینه، برنامه ریزی عملیات و تعیین راهبردهای تجاری را برای واحد اقتصادی برآورده می سازد. این سیستم به جای پرداختن به نشانه و معلول ، علت ایجاد هزینه و تولید را کالبدشکافی می کند و اگر فعالیتی دارای فلسفه توجیهی، متقاضی و حتی ارزش  افزوده نباشد، زمینه حذف، تعدیل یا بهبود آن را فراهم می کند. 

تعداد صفحات: ۹

نوع فایل: word (قابل ویرایش)

لطفاً برای مشاهده متن کامل تحقیق، محصول را خریداری نمائید…

تشکر از خریدتان

دانلود تفسیر سوره یوسف - با فرمت قابل ویرایش word

تفسیر سوره یوسف

با فرمت قابل ویرایش word

تعداد صفحات:  16 صفحه

تکه های از متن به عنوان نمونه :

نخستین مطلبى که در این سوره بیان شده، اشاره به روشنگرى آیات قرآنى است و اینکه قرآن به زبان عربى نازل شده است. مى فرماید: این، آیاتِ کتاب روشنگر است. این جمله یا اشاره به آیات همین سوره است که در آن قصه یوسف آمده و یا اشاره به مجموع قرآن است و در هر دو صورت خاصیت روشنگرى قرآن را بیان مى کند.

   صفت دیگرى که در اینجا براى قرآن ذکر شده، عربى بودن است، مى فرماید: ما قرآن را به زبان عربى فرستادیم تا شما بیندیشید; چون مردم مکه عرب زبان بودند و اگر قرآن به زبانهاى دیگرى مانند عبرى یا سریانى نازل مى شد، آنان به درستى آن را نمى فهمیدند ولذا به زبان عربى نازل شد تا براى آنان قابل فهم باشد. البته اسلام یک دین جهانى است و اختصاص به عربها ندارد ولى به هر حال باید قرآن به یکى از زبانهاى دنیا نازل مى شد وبهتر و کارآمدتر این بود که به زبان همان قومى نازل شود که پیامبر اسلام(ص) از آنها بود و باید دعوت خود را از آنان شروع مى کرد، از این رو قرآن به زبان عربى نازل شد تا مخاطبان آن بتوانند در آن اندیشه کنند و لذا در این آیه مى فرماید: قرآن را به زبان عربى نازل کردیم باشد که شما در آن بیندیشید. ضمناً زبان عربى زبان گسترده و پرواژه اى است و قابلیت آن را دارد که هرگونه مفهومى را برساند و به طورى که زبان شناسان اظهار مى دارند کمتر زبانى از چنین قابلیتى برخوردار است.

   در عین حال که قرآن به زبان عربى نازل شده است، در برخى از آیات قرآنى واژه هاى غیر عربى که از زبانهاى دیگر مانند فارسى و عبرى و یونانى و قبطى وارد عربى شده،نیز دیده مى شود مانند:

استبرق،سجّیل، اباریق، ارائک، تنّور، حوب، رسّ، سجّین، سرادق، سکر، سینا، فردوس، قراطیس، قسوره، قنطار، کافور، مرجان، مشکاة، و مانند آنها. کسانى در این باره کتابهاى مستقلى نوشته اند مانند سیوطى که کتابى تحت عنوان «المهذب فیما وقع فى القرآن من معرب» نوشته و تاج الدین سبکى که قصیده اى در این باره دارد.

   بدون شک اشتمال قرآن بر واژه هاى غیر عربى، در عربى بودن قرآن اشکالى به وجود نمى آورد چون نوع کلمات قرآن و شیوه آن عربى است و این مقدار در عربى بودن یک سخن کافى است.

 مطلب دیگر اینکه.......

و........

تحقیق در مورد اخلاق اسلامی

لینک پرداخت و دانلود *پایین صفحه*

فرمت فایل : Word(قابل ویرایش و آماده پرینت)

تعداد صفحه : 7

فهرست مطالب:

مقدمه

گوشه ای از امتیازات اخلاقی اسلام 

1- ثبات ارزش ها

2-  جهانی بودن

3- اعتدال

نقش عبادات در تزکیۀ اخلاق 

مقدمه

اگر دین‌ را مجموعة‌ عقاید و دستورات‌ عملی‌ بدانیم‌ که‌ بنا بر ادعای‌ آورنده‌ و پیروان‌ آن‌ عقاید و دستورات‌، از سوی‌ آفریدگار جهان‌ می‌باشد، و اخلاق‌ را مجموعة‌ آموزه‌هایی‌ که‌ راه‌ و رسم‌ زندگی‌ کردن‌ به‌نحو شایسته‌ و بایسته‌ را ترسیم‌ کرده، بایدها و نبایدهای‌ ارزشی‌ حاکم‌ بر رفتار آدمی‌ را می‌نمایاند، بخوبی‌ به‌ رابطة‌ تنگاتنگ‌ دین‌ و اخلاق‌ پی‌ خواهیم‌ برد و اخلاق‌ را پاره‌ای‌ ناگسستنی‌ از دین‌ به‌ شمار خواهیم‌ آورد.
نظام‌ اخلاقی‌ اسلام‌ عقلانی‌ وحیانی‌ است. بدین‌ معنا که‌ هم‌ خرد و اندیشه‌ انسان‌ بدان‌ دعوت‌ می‌کند و هم‌ پیامبران‌ الهی، که‌ از این‌ امر گاهی‌ به‌ فطری‌ بودن‌ دین تعبیر می‌شود. یعنی‌ تعالیم‌ کلی‌ دین‌ اسلام‌ از آن‌ جمله‌ احکام‌ اخلاقی‌ آن، با گرایشهای‌ فطری‌ انسان‌ هماهنگ‌ و همنواست. حاصل‌ آنکه‌ اگر اسلام‌ ما را به‌ ترک‌ تعلقات‌ دنیوی‌ و توجه‌ به‌ خدا و آخرت‌ و ارزشهای‌ معنوی‌ فرا می‌خواند، عقلِ‌ حسابگر نیز، که‌ همواره‌ سود و زیان‌ و مصالح‌ و مضار انسان‌ را در نظر می‌گیرد و انسان‌ را به‌ انجام‌ کارهایی‌ که‌ بیشترین‌ سود و کمترین‌ زیان‌ را برای‌ او دارد، دعوت‌ می‌کند، آن‌ فراخوانِ‌ وحیانی‌ را تأیید می‌کند. صریحاً‌ می‌توان‌ گفت‌ که‌ اسلام‌ تنها از ما خواسته‌ است‌ که‌ عاقل‌ باشیم‌ و عاقلانه‌ عمل‌ کنیم. انسانِ‌ عاقل هرگز آخرت‌ را به‌ دنیا نمی‌فروشد و جهان‌ ابدی، لذایذ معنوی‌ و لقای‌ خدا را با لذایذ ناچیز و بی‌مقدار دنیوی‌ مبادله‌ نمی‌کند. ازاین‌روست‌ که‌ می‌گوییم‌ نظام‌ اخلاقی‌ ما عقلانی‌ - وحیانی‌ است

1-  ثبات ارزش ها
بشر، تاریخ مدون چند هزار ساله دارد؛ ولی آنچه که از انسان، به نام «انسانیت» یا «فرهنگ انسانی» باقی مانده است، تنها جزئی از آن را تشکیل می دهد، که همان مظاهر ثبات اخلاق در طول اعصار است و اگر جز این بود، انسانیت، تاریخی نداشت و وجه تمایز اساسی بین انسان و حیوان به نظر نمی رسید.
سهمی که اسلام در نمودهای تاریخی بقای انسانیت دارد، از نظر هیچ محققی پوشیده نیست. تمدن اسلامی در طول حیات خود با ملت های مختلفی برخورد داشته و فرهنگ های متفاوتی را لمس نموده و میراث اخلاقی گران مایه ای را برای جهانیان تدارک دیده که انوار آن، تاریخ علوم و معارف را درخشان ساخته است، تا جایی که اگر بگوییم فلسفۀ اخلاق اسلامی، چیزی جز ثبات اخلاق نیست، سخنی به گزاف نگفته ایم. قرآن کریم، ظلم و دروغ و کینه ورزی و ... را برای همیشه زشت و ممنوع اعلام کرده و خوبی و زیبایی صداقت و محبت و عدالت و ایمان و ... را ابدی دانسته است. 

3- اعتدال
امتیاز دیگر این نظام، ایجاد روح اعتدال بین تمام قوای مادی و معنوی است. در این نظام چنین روشی به کار می رود تا ضمن ارضای تمام خواسته های سطحی و عمقی بشر، تناسب و هماهنگی بین آنها نیز محفوظ بماند. در صورتی که دیگر نظام های موجود فلسفی، قادر به تأمین این تناسب نیستند؛ زیرا اولاً تابع شناخت انسانی هستند و هنوز اعماق اقیانوس روان بشر، شناخته نشده است و ثانیاً از نقاط شناخته شده آن نیز ارزیابی های افراطی و تفریطی به دست داده اند. 

تحقیق در مورد اقلیدس

ک پرداخت و دانلود *پایین مطلب*

فرمت فایل:Word (قابل ویرایش و آماده پرینت)

تعداد صفحه:57

فهرست مطالب

مقدمه

کسی که هندسه نمی‎داند از این در داخل نشود،

کتیبة سر در روی آکادمی افلاطون

بیشتر مردم نمی‎دانند که در حدود یک سده و نیم پیش انقلابی در زمینة هندسه روی داد که از لحاظ علمی به عمق انقلاب کوپرنیکی در نجوم، و از جنبة نتایج فسلفی به اهمیت نگرة تکامل داروین بود. کاکستر[1]، هندسه‎دان کانادایی می‎نویسد: «تأثیر کشف هندسة هذلولوی در تصوری که از حقیقت و واقعیت داریم آنچنان عمیق بوده است که بدشواری می‎توانیم تصور کنیم که امکان وجود هندسه‎ای غیر از هندسة اقلیدسی تا چه اندازه در سال 1820 تکان دهنده جلوه‎ کرده است.» اما همة ما امورزه نام هندسة فضا – زمان نگرة نسبیت اینشتاین را شنیده‎ایم. «در واقع، هندستة پیوستار[2] فضا – زمان به حدی به هندسة تا اقلیدسی وابسته است که آگاهی از این هندسه‎ها شرط لازم برای درک کامل جهانشناسی نسبیت است.»

هندسة اقلیدسی، همان هندسه‎ای که شما در دبیرستان خوانده‎اید، هندسه‎ای است که بیشتر برای تجسم جهان مادی به کار می‎بریم. این هندسه از کتابی به نام اصول[3] به دست ما رسیده که توسط اقلیدس، ریاضیدان یونانی، در حدود 300 سال پیش از میلاد مسیح نگاشته شده است. تصوری که ما براساس این هندسه از جهان مادی پیدا کرده‎ایم تا حد زیادی به توسط آیزک نیوتن در اواخر سدة هفدهم ترسیم شده است.

هندسه‎هایی که اقلیدسی نیستند از مطالعة عمیقتر موضوع توازی در هندسة اقلیدسی پیدا شده‎اند. دو نیمخط موازی عمود بر پاره خط PQ را در نمودار زیر در نظر بگیرید:

در هندسة اقلیدسی فاصلة (عمودی) بین دو نیمخط هنگامی که به سمت راست حرکت می‎کنیم همواره مساوی فاصلة P تا Q باقی می‎ماند؛ ولی در اوایل سدة نوزدهم دو هندسة دیگر پیشنهاد شد. یکی هندسة هذلولوی (از کلمة یونانی هیپربالئین به معنی «افزایش یافتن») که در آن فاصلة میان نیمخطها افزایش می‎یابد، دیگری هندسة بیضوی[4] (از کلمة یونانی الیپن «کوتاه شدن») که در آن این فاصله رفته رفته کم می‎‏شود و سرانجام نیمخطها همدیگر را می‎برند. این هندسه‎های نااقلیدسی بعدها به توسط ک.ف. گاوس و گ.ف.ب. ریمان در قالب هندسة کلیتری بسط داده شدند (همین هندسة کلیتر است که در نگرة نسبیت عام اینشتاین مورد استفاده قرار گرفته است[5]).

در این کتاب ما به هندسه‎های هذلولوی و اقلیدسی خواهیم پرداخت. هندسة هذلولوی تنها به تغییر یکی از اصول اقلیدس نیاز دارد، و می‎تواند به همان آسانی هندسة دبیرستانی فهیمده شود. از سوی دیگر، هندسة بیضوی شامل مفهوم توپولوژیک تازة «سوناپذیری» است، زیرا همة نقاط صفحة بیضوی که بر روی یک خط نیستند در یک طرف آن خط قرار داردند. از این هندسه نمی‎شود به همان سهولت هندسة اقلیدسی صبحت کرد، زیرا به بسط قبلی هندسة تصویری نیاز دارد. بنابراین بحث در بارة هندسة بیضوی را در یک ضمیمة کوتاهی انحام داده‎ام. (اشتباه نشود! منظو ما این نیست که ارزش هندسة بیضوی کمتر از ارزش هندسة‌هذلولوی است.) فهم هندسة ریمانی مستلزم درک کامل محاسبات دیفرانسیل و انتگرال، و لذا بیرون از ظرفیت این کتاب است (در ضمیمه «ب» مختصری راجع به آن بحض شده است).

فصل اول با تاریخچة مختصری در باب هندسه در دوران قدیم آغاز می‎شود، و به بیان اهمیت بسط روش بنداشتی[6] توسط یونانیان ادامه می‎یابد. همچنین پنج اصل موضوع اقلیدس معرفی و به تلاش لژاندر برای اثبات اصل موضوع پنجم ختم می‎شود. برای پیدا کردن نقص برهان لژاندر (و برهانهای دیگر)، لازم است که مبانی هندسه دو باره دقیقاً مورد بررسی قرار گیرد. ولی، پیش از آنکه بتوانیم اساساً هندسه‎ای بنا کنیم، باید به بعضی از اصول بنیادی منطق آگاهی داشته باشیم. این اصول در فصل دوم به گونه‎ای غیر رسمی دوباره بررسی شده‎اند. در این فصل عناصر مشکلة یک برهان دقیق را از نظر می‎گذرانیم و بویژه به روش اثبات نامستقیم یا برهان خلف تکیه می‎کنیم. فصل دوم به مفهوم بسیار مهم الگو[7] برای یک دستگاه بنداشت ختم می‎شود، که با الگوهای متناهی از بنداشتهای وقوع نقاط و خطوط در هندسه نشان داده شده‎اند.

فصل سوم با بحثی از برخی نقایص در نحوة ارائة هندسه به توسط اقلیدس آغاز شده، و این نقایص با ارائه کامل بنداشتهای داوید هیلبرت (با اندکی تغییر) و نتایج اولیة آنها برطرف شده‎اند. ممکن است هنگام اثبات نتایجی که خودبخود بدیهی به نظر می‎رسند بی‎حوصله شوید. اما، هرگاه بخواهید با اطمینان در فضای نااقلیدسی کشتی برانید باید به این کار اساسی تن درهید.

مطالعة نتایج بنداشتهای هیلبرت، جز اصول نوازی، در فصل چهارم ادامه یافته است.

موضوع این مطالعة هندسة نتاری نامیده شده است. بعضی از قضیه‎های اقلیدس (مثل قضیة زاویة خارجی) را که شما با آنها آشنایی دارید، با روشی غی از روشهایی که به توسط اقلیدس به کار رفته‎اند اثبات خواهیم کرد. این تغییر به علت شکافهای منطقی موجود در استدلالاهای اقلیدس لازم بوده است؛ همچنین برخی قضایا را که اقلیدس نمی‎توانسته است بر آنها واقف باشد (مانند قضیة‌ساکری – لژاندر) ثابت خواهیم کرد.

به اتکای پایه‎های محکمی که در فصول مقدم بر فصل پنجم گذاشته شده‎اند، آمادگی خواهیم داشت که در فصل پنجم چند تلاش مهم را که برای اثبات اصل توازی صورت گرفته‎اند مورد تجزیه و تحلیل قرار دهیم (در تمرینات مجال خواهید داشت که نقایصی را در تلاشهای دیگر پیدا کنید). بر اثر این مطالعات، شیوة تفکر اقلیدسی شما چنان تکان می‎خورد که در فصل ششم می‎توانیم «دنیا شگرف تازه»‎ای را کشف کنیم، دنیایی را که در آن مثلثها مجموع زوایای «نادرست» دارند، مستطیل وجود ندارد، خطوط موازی ممکن است واگرا و یا به طور مجانبی همگرا باشند. در ضمن این کار داستان هیجان‎انگیز تاریخی اکتشاف تقریباً همزمان هندسة هذلولوی توسط گاوس، بویوئی و لوباچفسکی، در اوایل سدة نوزدهم، را ورق خواهیم زد.

این هندسه با اینکه ناآشناست، به همان سازگاری هندسة اقلیدسی است. این نکته را در فصل هفتم هنگام بررسی سه الگوی اقلیدسی که در تجسم هندسة هذلولوی نیز ما را یاری می‎کند اثبات خواهیم کرد. الگوهای پوانکاره این برتری را دارند که در آنها زوایا به روش اقلیدسی اندازه گرفته می‎شوند؛ برتری الگوی بلترامی – کلاین در نمایش خطوط توس پاره‎خطهای اقلیدسی است. همچنین در فصل هفتم از مطالبی از هندسة اقلیدسی بحث خواهیم کرد که در کتابهای دبیرستانی ذکری از آنها نشده است.

سرانجام،‌فصل هشتم به طریقی کلی برخی از استلزامهای فلسفی هندسه‎های نااقلیدسی را دربر می‎گیرد. عرضة مطالب تعمداً به گونه‎ای جدلی صورت گرفته است و منظور از مقاله‎های انشایی برانگیختن خواننده و تشویق او به تفکر و مطالعة بیشتر است.

بسیار مهم است که شما همة تمرینات را حل کنید، زیرا که نتایج تازه در ضمن تمرینات بسط داده شده و سپس در فصول بعدی مورد استفاده قرار گرفته‎اند. با حل همة تمرینات، ممکن است شما هم به جایی برسید که از هندسه به اندازة من لذت ببرید.

هندسة اقلیدس

اصل توازی… در دوران کهن حل نهایی مسئله‎ای بود که بایستی ریاضیات یونان را زمانی دراز پیش از اقلیدس به خود مشغول داشته باشد.

هانس فروید نتهال

منشأ هندسه

واژة «ژئومتری» از دو واژه یونانی؛ ژئو، به معنی زمین، و متراین، به معنی اندازه‎گیری آمده است؛ هندسه در اصل علم اندازه‎گیری زمین بوده است. هرودت، مورخ یونانی (سدة پنجم قبل از میلاد)، پیدایش هندسه را به مساحان مصری نسبت می‎دهد. ولی تمدنهای کهن دیگر (بابلی، هندی، چینی) هم اطلاعات هندسی زیاد داشته‎اند.

هندسة پیشینیان در واقع گرد‎اوری از روشهای «قاعدة سرانگشتی» بود که از راه آزمایش. بررسی شباهتها، حدسها و شهودهای اتفافی، دست یافتن به آنها میسر شده بود. خلاصه، هندسه موضوعی تجربی بود که جوابهای تقریبی آن معمولاً برای مقاصد عملی کافی بودند. بابلیهای 2000 تا 1600 سال پیش از میلاد مسیح محیط دایره را 3 برابر قطرش می‎گرفتند. یعنی p را مساوی 3 اختیار می‎کردند. این همان مقداری است که ویتروویوس[8] معمار رومی به آن داده بود و در نوشته‎های چینی همان مقدار پیدا شده است. حتی یهودیان باستانی این مقدار را مقدس می‎شمردند و می‎پنداشتند که کتاب مقدس آن ار تثبیت کرده است (کتاب اول پادشاهان، باب هفتم، آیة بیست و سوم) و تلاش خاخام نهه میا[9] برای تبدیل  p به 7/22 به نتیجه نرسیده بود. مصریان سال 1800 پیش از میلاد، طبق پاپیروس رایند[10] مقداری تقریبی  p را چنین می‎گرفته‎‏اند:

[11]

حدسهای مصریان در پاره‎ای از موارد درست و در پاره‎ای دیگر نادرست بودند. یکی از کارهای برجستة آنان پیدا کردن دستور صحیح برای حجم هرم ناقص مربع القاعده بوده است. از سوی دیگر، چنین می‎‏پنداشتند که دستوری که برای مساحت مستطیل صحیح است برای هر چهار ضلعی نامشخص نیز می‎تواند صحیح باشد. هندسة مصری به معنی یونانی کلمه علم نبود، بلکه صرفاً انبانی بود پر از قواعد محاسبه، بی‎هیچ موجبی یا توجیهی.

بابلیان در حساب و جبر خیلی از مصریان پیشرفته‎تر بودند. وانگهی، قضیة فیثاغورس را – که در هر مثلث قائم الزاویه مربع طول وتر مساوی با مجموع مربعات طولهای دو ضلع دیگر است – خیلی پیش از آنکه فیثاغورس به دنیا بیاید می‎دانستند. تحقیات اخیر اتونویگه باوئر[12] تأثیر جبر بابلیان بر ریاضیات یونانی را که قبلاً نادانسته بود مکشوف ساخته است.

ولی یونانیان. و پیش از همه طالس ملطی،[13] اصرار می‎ورزیدند که احکام هندسی باید از راه استدلال قیاسی ثابت شوند نه از راه آزمایش و خطا. طالس با محاسبات قسمتی درست و قسمتی نادرست که از ریاضیات بابلی و مصری در دست بود آشنایی داشت. وی ضمن کوشش برای تمیز نتایج درست از نادرست، نخستین هندسة منطقی را بنیاد نهاد. (طالس به سبب پیشگویی خورشیدگرفتگی سال 585 پیش از میلاد نیز مشهور است). استخراج منظم قضایا از راه اثبات، از مشخصات ریاضیات یونانی و کاملا تازه بوده است.

نظام بخشی و تابع اصول سازی که با طالس آغاز شده بود، مدت دو سده توسط فیثاغورش و شاگردانش ادامه یافت. معاصران فیثاغورش در او به دیدة پیامبری دینی می‎نگریستند. او به ابدیت روح و تناسخ معتقد بود. او از پیروان خود یک «جمعیت برادری» تشکیل داد که آداب تهذیب و تزکیه‎ای خاص خود داشت، و پیرو عقاید گیاهخواری و اشتراک اموال بود. تمایز فیثاغورسیان از دیگر گروههای مذهبی در این بود که آنان اعتلای روح و یگانگی با خدا را از راه مطالعة موسیقی و ریاضی میسر می‎دانستند. در موسیقی، فیثاغورس نسبتهای صحیح فواصل هارمونیک را حساب کرد. در ریاضیات، خواص مرموز و شگفت‎انگیز اعداد را تعلیم می‎داد. کتاب هفتم اصول اقلیدس که کتابی در بارة نگرة اعداد است، در مکتب او آموخته می‎شد.

زمانی که فیثاغورسیان طولهای کنگ، نظیر  را کشف کردند به سختی یکی خوردند (¬فصل دوم صفحات 34-35). در ‎آغاز کوشیدند که این کشف را پوشیده نگاه دارند. پروکلوس[14] مورخ می‎نویسد: «هم می‎دانیم مردی که نخستین بار نگرة اعداد کنگ را آشکار ساخت هنگام غرق یک کشتی از میان رفت، تا چیزی که بیان نشدندی و تصور ناپذیر است برای همیشه پوشیده بماند». از آنجایی که فیثاغورسیان  را عدد نمی‎شمردند، جبر خود را به صورت هندسی درآوردند تا بتوانند  و طولهای کنگ دیگر را به توسط پاره خط (مثلاً  را با قطر مربعی به ضلع واحد) نشان دهند.

پی‎ریزی منظم هندسة مسطحه توسط مکتب فیثاغورش را بقراط ریاضیدان (با طبیبی به همین نام خلط نشود) در حدود سال 400 پیش از میلاد مسیح در کتاب اصول سروصورتی داد. با اینکه این کتاب گم شده است، می‎توانیم با اطمینان خاطر بگوییم که قسمت اعظم کتابهای اول تا چهارم اصول اقلیدس را، که یک سده بعد منتشر شده، دربرداشته است. فیثاغورسیان هرگز قادر نبودند نگرة تناسبهایی را که بر طولهای کنگ نیز جاری باشد بسط دهند. این کار بعداً توسط ائودوکسوس،[15] که نگر‎ه‎اش در کتاب پنجم اصول اقلیدس گنجانیده شده است، انجام گرفت.

سدة چهارم پیش از میلاد مسیح ناظر شکوفایی آکادمی علوم و فلسفة افلاطون (که در حدود سال 387 پیش از میلاد بنیاد نهاده شد) بود. افلاطون در کتاب جمهوری می‎نویسد: «مطالعة ریاضیات دستگاهی ذهنی را توسعه می‎دهد و به کار می‎اندازد که ارزش آن از هزار چشم بیشتر است، زیرا که درک حقیقت فقط از راه ریاضی میسر است». افلاطون می‎آموخت که جهان اندیشه مهمتر از جهان مادی حواس است. زیرا که این جهان سایة جهان اولی است. جهان مادی غاری است ناروشن که بر روی دیوارهای آن تنها سایه‎های جهان واقعی خارج را که به نور خورشید روشن شده است، می‎بینیم. خطاهای حواس باید از راه تمرکز فکر اصلاح شوند، که خود این تمرکز از راه مطالعة ریاضیات بهتر میسر می‎‏شود. روش سقراطی محاوره اصولا روش اثبات نامستقیم است، که با آن نشان داده می‎شود که حکم زمانی نادرست است که به تناقضی منجر شود. افلاطون کراراً اثبات کنگ بودن طول قطر مربعی به اضلاع واحد را به عنوان مثالی برای یک روش اثبات نامستقیم (()برهان خلف، فصل دوم، صفحات 23-35) آورده است. نکته اینجاست که این کنگ بودن طول هرگز نمی‎توانسته از راه‎ اندازه‎گیریهای عینی، که همیشه متضمن یک حاشیة کوچک تجربی خطاست، کشف شود.

اقلیدس شاگر مکتب افلاطون بود. در حدود 300 سال پیش از میلاد روش قاطع هندسة‌ یونانی و نگرة اعداد را در اصول سیزده جلدیش منتشر کرد. با تنظیم این شکاهار، اقلیدس تجربه و کارهای مهم پیشینیان خود در سده‎های جلوتر را گرد هم آورد: تجارب فیثاغورسیان را در کتابهای اول تا چهارم و هفتم و نهم؛ نتایج کارهای آرکیتاس[16] را در کتاب هشتم؛ کارهای ائودوکسوس را در کتابهای پنجم، ششم، دوازدهم، و کارهای تئه تتوس[17] را در کتابهای دهم و سیزدهم. کتاب اقلیدس چنان به طور کامل جانشین کوششهای پیشین در شناسانیدن هندسه شد که کمتر نشانه‎ای از آن کوششها به جا ماند. جای تأسف است که بازماندگان اقلیدس قادر نبودند حق تألیف کتاب او را گرد‎آوری کنند؛ چون نامبرده مؤلفی است که اثرش بیش از هرکسی در تاریخ بشریت خوانده شده است. روش او در هندسه متجاوز از دو هزار سال بر تعلیم این ماده مسلط بود. وانگهی، روش بنداشتی که اقلیدس به کاربرد الگویی است برای آنچه که ما امروز «ریاضیات محض[18]» می‎نامیم. «محض» به معنی «اندیشة محض» است: هیچ تجربة عینی برای تحقیق درستی احکام لازم نیست – تنها باید مراقب استدلال در اثبات قضایا بود.

اصول اقلیدس از این حیث هم «محض» است که متضمن هیچ کاربرد علمی نیست؛ البته، هندسة اقلیدسی مورد استعمال بسیار در مسائل عملی مهندسی داشته است، ولی در اصول اشاره‎ای به آنها نشده است. در افسانه آمده است که یکی از آموزندگان مبتدی هندسه از اقلیدسی پرسید: «از آموختن این مطالب چه عاید من می‎شود؟» اقلیدس غلامش را خواند و گفت: «سکه‎ای به او بده، چون که می‎خواهد از آنچه که فرا می‎گیرد چیزی عایدش شود». این گونه تلقی از کاربرد ریاضیات در میان بسیاری از ریاضیدانان محض تا به امروز متداول مانده است – آنها ریاضیات را صرفاً برای خودش، و برای زیبایی و ظرفات ذاتیش فرا می‎گیرند.

چنانکه بعداً خواهیم دید، جای شگفتی است که ریاضیات محض اغلب کاربردهایی پیدا می‎کند که خالق آن هرگز خوابش را هم نمی‎دیده است – دورنمای «غیر عملی» ریاضیات محض، در نهایت، برای اجتماع مفید است. گذشته از آن، آن بخشهایی از ریاضیات هم که «کاربسته» نبوده‎اند برای اجتماع ارزش دارند، خواه به عنوان آثاری زیبا که با هنر و موسیقی قابل مقایسه‎اند و خواه از لحاظ سهم بزرگی که در بسط فهم و خود‎‏آگاهی انسان داشته‎اند.[19]

روش بنداشتی[20]

ریاضیدانان برای کشف قضایا ممکن است از راههای آزمایش و خطا، محاسبة حالات ویژه، حدس در نتیجة الهام، و یا از هر راه دیگری استفاده کنند. روش بنداشتی روشی برای اثبات درستی نتایج است. برای برخی از نتایج مهم در ریاضیات اساساً تنها دلیلهای ناقص داده شده بوده است (خواهیم دید، که حتی اقلیدس هم در این زمینه مقصر بوده است). ولی مهم نیست، زیرا که دلیل درست، عاقبت (اغلب بسیار دیر) فراهم می‎شود و جهان ریاضی خشنود می‎گردد.

بنابراین، دلیلها به ما اطمینان می‎دهند که نتیجه‎ها درست هستند. در بسیاری از موارد این استدلالها نتایج کلیتری را عاید می‎کنند. مثلا، مصریان و هندیان به تجربه دریافته بودند که هرگاه اضلاع مثلثی 3 و 4 و 5 باشند، آن مثلث قائم الزاویه است. اما یونانیان ثابت کردند که اگر اضلاع a و b وc  از مثلثی چنان باشند که ، آنگاه مثلث قائم الزاویه است. برای کسب اطمینان از درستی این نتیجه لازم است بینهایت بار به آزمایش بپردازیم (و بعلاوه، آزمایشها تنها اندازة تقریبی اشیاء را به ما می‎‏دهند). بالاخره، استدلال بینشی شگرف از روابط بین اشیاء مختلفی که مطالعه می‎کنیم به ما می‎بخشد و ما را ملزم می‎سازد که اندیشه‎های خود را به گونه‎ای منسجم سازمان دهیم.

روش بنداشتی چیست؟ اگر بخواهم از راه استدلال محض شما را متقاعد سازم که حکم 1S را بپذیرید، باید بتوانم نشان دهم که این حکم چگونه به طور منطقی از حکم دیگر 2S، که  شما قبلاً آن را پذیرفته‎اید، نتیجه می‎شود. ولی اگر شما 2S را قبول نداشته باشید، من باید نشان دهم که 2S چگونه به طور منطقی از یک حکم دیگر 3S نتیجه می‎شود. ممکن است لازم شود این عمل را چند بار تکرار کنم تا به حکمی برسم که شما آن را می‎‏پذیرید و احتیاجی به اثبات آن نیست. حکم اخیر نقش یک بنداشت (یا اصل موضوع) را ایفا می‎کند. اگر نتوانم به حکمی برسم که شما به عنوان مبنای استدلال من بپذیرید، دچار «تسلسل» خواهم شد، یعنی باید دلیل پشت دلیل بیاورم بی آنکه پایانی داشته باشد.[21]

پس باید دو شرط مسلم شوند تا درستی برهانی را بپذیریم:

شرط 1. پذیرفتن احکامی به نام «بنداشت» یا «اصل موضوع» که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.

شرط 2. توافق بر اینکه کی و چگونه حکمی «به طور منطقی» از حکم دیگر نتیجه می‎شود، یعنی توافق در برخی از قواعد استدلال.

کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‎نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دستچین کرد، و از آنها 465 گزاره نتیجه گرفت، که بسیاری از آنها پیچیده بودندو به طور شهودی بدیهی نبودند و تمام اطلاعات زمان او را دربرداشتند. یک دلیل بر زیبایی اصول اقلیدس این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفته است.

اصطلحات تعریف نشده (حدود اولیه)

در اینکه برای پذیرفتن درستی استدلالی چه لازم است بحث کردیم. اینک شرطی که آن را مسلم می‎شماریم:

شرط O. تفاهم متقابل در معنی واژه‎ها و نمادهایی که در سخن به کار برده می‎شوند.

تا وقتی که اصطلاحاتی را که به کار می‎بریم برای هردوی ما آشناست و از آنها به نحوی سازگار استفاده می‎کنیم در تفاهم متقابل مشکلی وجود ندارد. اگر من اصطلاح ناآشنایی را به کار ببرم شما حق دارید تعریف آ نرا از من بخواهید. تعاریف را به دلخواه نمی‎توان داد؛ تعاریف تابع قواعد استدلالیبی هستند که در شرط 2 به آنها اشاره کردیم (ولی آنها را مشخص نکردیم). مثلاً اگر زاویة قائمه را زاویه ْ90 تعریف کنم و زاویة ْ90 را زاویة قائمه تعریف کنم، آنگاه از قاعدة خلاف استدلال دوری عمل نمودن تخلف کرده‎ام.

و نیز، هر اصطلاحی را که به کار می‎بریم نمی‎توانیم تعریف کنیم. برای اینکه اصطلاحی را تعریف کنیم باید اصطلاحهای دیگری را بکار بریم و برای تعریف این اصطلاحها، باید بازهم از اصطلاحهای دیگری استفاده نماییم، و به همین قیاس، اگر مجاز نباشیم برخی از اصطلاحات را تعریف نشده بپذیریم دچار دور یا تسلسل خواهیم شد.

اقلیدس نهایت سعی خود را کرد که همه اصطلاحات هندسی را تعریف کند. او «خط مستقیم» را چنین تعریف می‎کند: «خطی که به نحوی هموار بر نقاطی که بر خود آن هستند قرار داشته باشد». این تعریف،‌ مفید فایده‎ای نیست زیرا که برا فهمیدن آن شما باید قبلاً تصوری از خط داشته باشید. پس بهتر است «خط» را به عنوان اصطلاحی تعریف نشده بپذیریم. همچنین اقلیدس «نقطه» را «چیزی که هیچ جزء ندارد» تعریف می‎کند – که باز جندان روشن نیست. پس «نقطه را هم به عنوان اصطلاحی تعریف نشده می‎پذیریم. اینک پنج اصطلاح تعریف نشده که مبنایی است برای تعریف همة اصطلاحات هندسی دیگر در هندسة مسطحة اقلیدسی:

نقطهخط«قرارداد (دارند) بر» (مثلا در: دو نقطه فقط بر یک خط منحصر به فرد قرار دارند)«میان» (مثلاً در: نقطة C میان نقاط A و B قرار دارد)قابل انطباق[22]

برای هندسة فضایی ناگزریم اصطلاح هندسی تعریف نشدة دیگری یعنی «صفحه» را بپذیریم و نسبت «قرار دارد بر» را تعمیم دهیم تا قرار گرفتن نقاط و خطوط را بر صفحه میسر سازیم. در این کتاب (مگر اینکه خلاف آن ذکر شود) خود را به هندسه مسطحه یعنی به یک صفحة تنها محدود می‎کنیم و لذا صفحه را چنین تعریف می‎کنیم: مجموعة نقاط و خطوطی است که گفته می‎شود همة آنها «بر آن قرار دارند».

عبارتهایی هستند که اغلب با عبارت «قرار دارد بر روی…» مرادف هستند. به جای اینکه بگوییم «نقطهP بر خطl قرار داد» گاهی می‎گوییم «خطl از نقطة Pمی‎گذرد» یا «Pبرl واقع است». اگر نقطه Pهم بر خطl و هم بر خطm واقع باشد، می‎گوییم «l وm در نقطة Pمشترک‎اند» یا «l وm در نقطة Pمتقاطع‎اند» یا «l وm در نقطة Pمتلاقی‎اند».

دومین اصطلاح تعریف نشده یعنی «خط» را با «خط مستقیم» مرادف می‎گیریم. صفت «مستقیم» که تصرفی در نام «خط» می‎کند گمراه کننده است. همچنین ما از «خطوط منحنی» صحبت نمی‎کنیم. با اینکه واژه «خط» تعریف نخواهد شد، بنداشتهای هندسة ما کاربرد آن را محدود خواهد ساخت. مثلاً، یکی از بنداشتها می‎گوید از هر دو نقطة مفروض تنها یک خط می‎گذرد. بدین ترتیب خطوط lوm در شکل 1.1 نمی‎توانند معرف دو خط در هندسة ما باشند، زیرا که هر دو بر نقاطP وQ می‎گذرند. شما بایدl وm را «خم» بنامید نه «خط».

 اصطلاحات ریاضی دیگری هم وجود دارند که ما ناگزیریم از آنها استفاده کنیم و چون تعریفی برای آنها قائل نمی‎شویم، باید آنها را به فهرست اصطلاحات تعریف نشده بیفزاییم. پیشتر به آنها نپرداختیم. به این دلیل که آنها ماهیت خاص هندسی ندارند، بلکه چیزهایی هستند که اقلیدس آنها را «بنداشت علوم متعارفه» می‎نامد. مع‎هذا چون ممکن است در بارة این اصطلاحات دچار ابهامی بشویم، گفتن نکته‎ای چند لازم است.

واژة «مجموعه» در همة ریاضیات امروزی بنیادی است و اکنون در دبستانها هم به کار برده می‎شود. بنابراین تردیدی نیست که شما با کاربرد آن کاملاً‌ آشنایی دارید. فکر کنید مجموعه «انبوهی است از اشیاء». دو مفهوم وابسته به آن هستند: یکی «تعلق داشتن به» یک مجموعه یا «بودن عضو یا عنصر» یک مجموعه است. مثل این قرارداد که می‎گوییم همة نقاط و همة خطها به صفحه «تعلق دارند». اگر هر عضو یک مجموعة S عضوی از یک مجموعة T هم باشد، می‎گوییم S در T «گنجیده است» و یا ««جزیی است از » T یا «زیرمجموعة» T است. مثلاً مجموعة تمام کودکان زیر مجموعه‎ای است از تمام مردم.

در زبان مجموعه‎ها دو مجموعة S و ‏T را زمانی مساوی یکدیگر گوییم که هر عضو S عضو T باشد و بعکس. مثلاً S یعنی مجموعة همة مولفان اصول اقلیدس (به جرأت می‎توانیم بگوییم) مساوی با مجموعه‎ای است که تنها عضوش اقلیدس است. پس در این مورد «تساوی» به معنی «همانی» است.

اقلیدس واژة «مساوی» را در معنی متفاوت دیگری هم به کار می‎برد. مثلاً در این حکم: «در مثلث متساوی الساقین زاویه‎های مجاور به قاعده مساوی هستند». منظور او این است که در یک مثلث متساوی‎الساقین تعداد درجه‎های زاویه‎های مجاور به قاعده یکی است، نه اینکه خود آن دو زاویه یکی هستند. لذا در این گونه موارد برای جلوگیری از اشتباه، ما دیگر از واژه مساوی به معنی اقلیدسی استفاده نمی‎کنیم، بلکه به جای آن اصطلاح تعریف نشدة قابل انطباق را به کار خواهیم برد. می‎گوییم «در یک مثلث متساوی الساقین زاویه‎های مجاور به قاعده قابل انطباق‎اند. همچنین نمی‎گوییم: «اگر AB مساوی AC باشد، آنگاه DABC متساوی الساقین است». بنابر تعریفی که از واژه تساوی کرده‎ایم اگر AB مساوی AC باشد،  DABC اساساً‌یک مثلث نخواهد بودبلکه تنها یک پاره خط است. به جای آن می‎گوییم: «اگر AB  قابل انطباق با AC باشد،  DABC متساوی الساقین است». این کاربرد از اصطلاح تعریف نشدة قابل انطباق کلیتر از مفهومی است که شما به آن عادت کرده‎اید. و این نه تنها برای مثلثها، بلکه برای زاویه‎های و پاره خطها هم به کار برده خواهد شد. برای اینکه بفهمید این واژه را در کجا باید به کار ببرید چنین تجسم کنید که اشیاء قابل انطباق «شک و اندازه‎شان یکی است».

البته باید تصریح کنیم (همان کاری را که اقلیدس در «بنداشت علوم متعارفه» کرد) که «یک شیء با خودش قابل انطباق است» و «شیءهای قابل انطباق با یک شیء، خودشان با هم قابل انطباق‎اند». احکامی از این قبیل را بعداً در میان بنداشتهای قابلیت انطباق (فصل سوم) خواهیم گنجانید.

فهرست، اصطلاحات هندسی تعریف نشده‎ای را که در بالا آوردیم متعلق به داوید هیلبرت[23] است. وی در کتابش به نام مبانی هندسه (1899) نه تنها تعاریف اقلیدس را روشن ساخت بلکه شکافهایی را هم که در برخی از براهین اقلیدس وجود داشت پرکرد. هیلبرت دریافت که برهان اقلیدس از ملاک «دو ضلع و زاویة بین آنها» برای قابلیت انطباق مثلثها براساس فرضی بیان نشده (اصل برهمنش) بنا نهاده شده است و این ملاک را باید یک بنداشت به شمار آورد. هیلبرت همچنین از کتاب موریتس باش،[24] که در 1882 نخستین کتاب دقیق در هندسه را منتشر کرده بود، استفاده کرد. پاش فرضهای بیان نشدة اقلیمی در باب «میانبود[25]» را صریح ساخت. از جملة ریاضیدانانی که تلاش کرد‎ه‎اند تا بنیاد محکمی برای هندسة اقلیدسی بریزند باید از: ج.پئانو[26]، م.پیری[27]، ورونز[28]، ا.ویلن[29]، ربینسون[30]، ا.و هنتینگتن[31] و فوردر[32] نام برد. هر یک از این ریاضیدانان صورتی از اصطلاحات تعریف نشده را به کار می‎برد که با فهرست اصطلحات تعریف نشدة هیلبرت تفاوت دارد. مثلاً، پیری تنها به دو اصطلاح تعریف نشده اکتفا کرده است و در نتیجه، بنداشتهای او پیچیده‎تر شد‎ه‎اند.

چهار اصل اول اقلیدس

اقلیدس هندسه خود را براساس پنج فرش بنیادی به نام بنداشت یا اصل موضوع[33] بنا نهاد.

اصل اول اقلیدس. به ازای هر نقطةP و هر نقطةQ که با Pمساوی نباشد خط یکتایی مانندl وجود دارد که برP وQ می‎گذرد.

این اصل اغلب به صورت غیر رسمی چنین بیان می‎شود: هر دو نقطه یک خط منحصر به فرد را مشخص می‎سازند. ما یگانه خط مار بر نقاطP وQ را با نشان می‎دهیم.

برای بیان اصل دوم به تعریف زیر نیاز داریم:

تعریف دو نقطة AوB داده شده‎اند. پاره خط ABمجموعه‎ای است که اعضای آن نقاطA وB و همة نقاطی هستند که بر میانA وB قرار دارند. دو نقطة مفروض AوB دو سر پاره خط AB [34]نامیده می‎شوند.

اصل دوم اقلیدس. به ازای هر پاره خط AB و هر پاره خط CD نقطة منحصر به فردی

چون E وجود دارد چنانکه B میان A و E واقع است و پاره خط CD با پاره خط BE، قابل انطباق است.

این اصل اغلب به طور غیر رسمی چنین بیان می‎شود: «هر پاره خط AB را می‎توان به اندازة پاره خط BE، که با پاره خط داده شده CD قابل انطباق است، امتداد داد.» توجه کنید که در این اصل ما اصطلاح تعریف نشدة «قابل انطباق» را به روش تازة مذکور در بالا به کار برده‎ایم و برای بیان این امر که CD قابل انطباق با BE است از علامت متداول  استفاده می‎کنیم.

برای بیان اصل سوم باید تعریف دیگری را وارد کنیم:

تعریف. دو نقطة O و A  داده شده‎اند. مجموعة همه نقطه‎هایی مانند ‍P به طوری که پاره خط OP قابل انطباق با پاره خط OA باشد دایره به مرکز O نامیده می‎شود، و هر یک از پاره خطهای OP یک شعاع این دایره نام دارد.

از بنداشت قابلیت انطباق که پیش از این به آن اشاره کردیم (هر چیز با خودش قابل انطباق است) نتیجه می‎شود که . پس A نیز نقطه‎ای است بر دایره‎ای که هم اکنون تعریف کردیم.

اصل سوم اقلیدس به ازای هر نقطة O و هر نقطة A که با O مساوی نباشد دایره‎ای به مرکز O و شعاع OA وجود دارد.

در حقیقت، چون ما زبان مجموعه‎ها را بیشتر از زبان اقلیدس به کار می‎‏بریم، واقعاً لزومی به فرض این اصل نیست. این اصل نتیجه‎ای است از نگرة مجموعه‎ها که می‎گوید: مجموعة نقطه‎هایی نظیر P وجود دارد چنانکه برای آنها . اقلیدس در ذهن خود ترسیم دایرة‌به مرکز O و شعاع OA می‎اندیشید. و این اصل به ما می‎گوید که چنین ترسیمی،‌مثلاً با پرگار، مجاز است. همچنین، در اصل دوم شما مجازید پاره خط AB را به کمک رسم پاره خط BE با یک خطکش نامدرج (ستاره)[35]امتداد دهید. این نحوة بیان ما موجب «پیرایش» اثر اقلیدس از هرگونه ارجاع به ترسیم می‎شود.[36]

تعریف. نیمخط  عبارت از مجموعة نقاط واقع بر  که به پاره خط AB تعلق داشته باشند و همة نقاطی نظیر C چنان باشند که B میان A و C قرار داشته باشد. اصطلاحاً می‎گویند نیمخط  از A خارج شده و جزئی است از .

تعریف. نیمخطهای  و  را متقابل گوییم، هرگاه متمایز باشند و از یک نطقة A خارج شوند و جزئی از یک خط  باشند.

تعریف. یک زاویه به رأس A عبارت است از نقطه A و دو نیمخط  و  (به نام ضعلهای زاویه) که از نقطة A  خارج شده‎اند و متقابل نیستند.[37]

ازن زاویه را با  یاBAC Ð یا CAB Ð نشان می‎دهیم.

تعریف. هرگاه دو زاویة BAD Ð و CAD Ð در ضلع AD مشترک باشند و دو ضلع دیگر AB و AC آنها نیمخطهای متقابل باشند مکمل یکدیگرند یا زاویه‎های مکمل‎اند.